一、选择题解析
1. 题目描述
（1）若函数
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
的图象与
\(x\)
轴有两个不同的交点，则下列结论正确的是：
A.
\(a>0\)
，
\(b^2-4ac>0\)
B.
\(a<0\)
，
\(b^2-4ac>0\)
C.
\(a>0\)
，
\(b^2-4ac<0\)
D.
\(a<0\)
，
\(b^2-4ac<0\)
2. 解题过程
首先，我们知道当函数
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
的图象与
\(x\)
轴有两个不同的交点时，该函数的判别式
\(\Delta=b^2-4ac\)
必须大于0。同时，由于函数与
\(x\)
轴有两个交点，说明函数在
\(x\)
轴上方和下方各有一个零点，即函数开口向上或向下。
对于选项A和B，当
\(a>0\)
时，函数开口向上，有两个不同的实数零点，符合题意；当
\(a<0\)
时，函数开口向下，有两个不同的实数零点，符合题意。因此，选项A和B都是正确的。
对于选项C和D，当
\(a>0\)
时，函数开口向上，不可能有两个不同的实数零点；当
\(a<0\)
时，函数开口向下，不可能有两个不同的实数零点。因此，选项C和D都是错误的。
综上所述，正确答案是A和B。
二、填空题解析
1. 题目描述
（2）已知函数
\(f(x)=x^3-3x+1\)
，若
\(f(x)\)
的图像在
\(x\)
轴上有一个交点，则
\(f'(x)\)
的零点个数为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 解题过程
首先，我们需要找到函数
\(f(x)\)
的图像在
\(x\)
轴上的交点。由于题目中已经告诉我们
\(f(x)\)
的图像在
\(x\)
轴上有一个交点，我们可以通过令
\(f(x)=0\)
来求解。
\[x^3-3x+1=0\]
为了解这个方程，我们可以尝试因式分解：
\[(x-1)(x^2+x-1)=0\]
因此，
\(f(x)\)
的图像在
\(x\)
轴上的交点为
\(x=1\)
。接下来，我们需要求解
\(f'(x)\)
的零点个数。
\[f'(x)=3x^2-3\]
令
\(f'(x)=0\)
，得到：
\[3x^2-3=0\]
\[x^2=1\]
\[x=±1\]
因此，
\(f'(x)\)
的零点个数为2。
综上所述，正确答案是B。
三、解答题解析
1. 题目描述
（3）已知函数
\(f(x)=x^3-3x^2+2x+1\)
，求函数
\(f(x)\)
的极值。
2. 解题过程
为了求解函数
\(f(x)\)
的极值，我们需要先求出
\(f'(x)\)
。
\[f'(x)=3x^2-6x+2\]
令
\(f'(x)=0\)
，得到：
\[3x^2-6x+2=0\]
\[x^2-2x+\frac{2}{3}=0\]
\[x=1±\frac{\sqrt{2}}{3}\]
因此，函数
\(f(x)\)
的极值点为
\(x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{3}\)
和
\(x_2=1+\frac{\sqrt{2}}{3}\)
。
接下来，我们需要判断这两个极值点的类型。为此，我们可以求出
\(f''(x)\)
。
\[f''(x)=6x-6\]
将
\(x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{3}\)
和
\(x_2=1+\frac{\sqrt{2}}{3}\)
代入
\(f''(x)\)
，得到：
\[f''(1-\frac{\sqrt{2}}{3})=-\frac{4\sqrt{2}}{3}<0\]
\[f''(1+\frac{\sqrt{2}}{3})=\frac{4\sqrt{2}}{3}>0\]
因此，
\(x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{3}\)
是
\(f(x)\)
的极大值点，
\(x_2=1+\frac{\sqrt{2}}{3}\)
是
\(f(x)\)
的极小值点。
最后，我们计算
\(f(x)\)
在
\(x_1\)
和
\(x_2\)
处的函数值。
\[f(1-\frac{\sqrt{2}}{3})=\frac{4}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\]
\[f(1+\frac{\sqrt{2}}{3})=\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\]
因此，函数
\(f(x)\)
的极大值为
\(\frac{4}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
，极小值为
\(\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
。
综上所述，本题的解析过程如上所述。